¿QUÉ ES EL CALCULO?
El cálculo se inventó en el siglo diecisiete para proporcionar herramientas que resolvieran algunos problemas en los que interviene el movimiento. La geometría, el álgebra y la trigonometría se aplican al estudio de los objetos que se mueven con velocidad constante; sin embargo para estudiar las órbitas de los planetas, para calcular el vuelo de un cohete, para predecir la trayectoria de una partícula cargada a través de un campo electromagnético, y en general, para tratar los diversos aspectos del movimiento, se necesitan los métodos del cálculo.
Para poder discutir el comportamiento de los cuerpos en movimiento es esencial definir primero lo que se entiende por velocidad y aceleración a grandes rasgos podemos decir que la velocidad de un objeto es una medida de la razón de cambio de la distancia que el objeto ha recorrido, con respecto al tiempo. La velocidad puede cambiar mucho, como por ejemplo cuando un automóvil de carreras arranca o cuando una cápsula espacial desciende y entra a la atmósfera terrestre. Para poder dar un significado preciso a las nociones de velocidad y aceleración se necesita usar uno de los conceptos fundamentales del cálculo, la derivada.
Aunque el cálculo se inventó para ayudar a resolver algunos problemas de física, posteriormente se ha aplicado en muchos campos diferentes de la ciencia. Una de las razones por las que es tan versátil, es que la derivada es útil en el estudio de las razones de cambio de muchas cantidades, además de la distancia y la velocidad. Por ejemplo, un químico puede usar las derivadas para predecir el resultado de algunas reacciones químicas. Un biólogo puede usarlas en sus investigaciones sobre la razón de crecimiento del número de bacterias en un cultivo. Un ingeniero electricista puede usar la derivada para describir el cambio de la corriente en un circuito eléctrico. Los economistas la han aplicado en problemas relacionados con las pérdidas y las ganancias de una empresa.
La derivada se usa también para encontrar las rectas tangentes a las curvas. Además de que esto es de cierto interés en la geometría, el significado de las rectas tangentes es de gran importancia en algunos problemas físicos. Por ejemplo, si una partícula se mueve a lo largo de una curva, entonces la recta tangente indica la dirección del movimiento. Si restringimos nuestra atención a una parte suficientemente pequeña de la curva, entonces en cierto sentido, podemos usar la recta tangente para calcular aproximadamente la posición de la partícula.
Muchos de los problemas sobre máximos y mínimos pueden atacarse con ayuda a la derivada. Estos son unos ejemplos del tipo de preguntas que pueden responderse usando la derivada: ¿A qué ángulo de elevación debe dispararse un proyectil para que llegue lo más lejos posible? ¿Qué dimensiones debe tener una lata de metal con un volumen de un litro para que la cantidad de metal necesaria en su construcción sea mínima? ¿Cuál de los puntos entre dos fuentes de luz tiene la máxima iluminación? ¿Cómo puede cierta compañía hacer que su ingreso sea máximo? ¿Cómo puede un productor minimizar el costo de producción de cierto articulo?
Otro de los conceptos fundamentales del cálculo es la integral definida. También tiene muchas aplicaciones en las ciencias. Un físico puede usarla para calcular el trabajo necesario para estirar o comprimir un resorte. Un ingeniero puede usarla para encontrar el centro de masa o el momento de inercia de un cuerpo. Un biólogo puede usar la integral definida para calcular el flujo de sangre a través de una arteriola. Un economista puede emplearla para estimar la depreciación del equipo de un fábrica. Los matemáticos usan integrales definidas para investigar los conceptos de área de una superficie, volumen de un sólido geométrico y longitud de una curva.
A medida que avancemos a través de este libro, iremos discutiendo todos y cada uno de los ejemplos anteriores y muchos más. no hay límite a las aplicaciones del cálculo. En efecto, quizás en el futuro tú, lector, descubrirás nuevos usos de esta importante rama de las matemáticas.
La derivada y la integral definida se definen en términos de ciertos límites.
La noción de límite es la idea inicial que separa al cálculo de las ramas elementales de las matemáticas. Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) descubrieron la conexión entre la derivada y la integral. Por esto y por sus otras contribuciones al tema, se les considera los inventores del cálculo. Muchos otros matemáticos también han contribuido a su desarrollo.
La discusión anterior no es una respuesta a la pregunta "¿Qué es el cálculo?" De hecho, no hay respuesta sencilla. Se podría llamar cálculo al estudio de los límites, las derivadas y las integrales; sin embargo esto no tiene sentido para quien no conoce el significado de estos términos. Aunque dimos unos cuantos ejemplos de lo que puede lograrse con las derivadas y las integrales, no hemos explicado aún el significado de estos conceptos. Definirlos será uno de los objetivos principales de nuestro trabajo inicial en este texto.
- Profesor: Samuel Ruiz Llovet
